1. Đặt X1, ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị kì vọng bằng 0. Giả sử |X i| ≤ M gần như chắc chắn, với mọi i. Khi đó, với mọi t dương,

P { ∑ i = 1 n X i > t } ≤ exp ⁡ { − t 2 / 2 ∑ E X j 2 + M t / 3 } . {\displaystyle \mathbf {P} \left\{\sum _{i=1}^{n}X_{i}>t\right\}\leq \exp \left\{-{\frac {t^{2}/2}{\sum \mathbf {E} X_{j}^{2}+Mt/3}}\right\}.}

2. Đặt X1,..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập. Giả sử với một số thực dương L nào đó và với mọi số nguyên k > 1,

E | X i k | ≤ E X i 2 2 L k − 2 k ! {\displaystyle \mathbf {E} |X_{i}^{k}|\leq {\frac {\mathbf {E} X_{i}^{2}}{2}}L^{k-2}k!}

thì

P { ∑ i = 1 n X i ≥ 2 t ∑ E X i 2 } < exp ⁡ { − t 2 } ,  khi  0 < t ≤ ∑ E X j 2 2 L . {\displaystyle \mathbf {P} \left\{\sum _{i=1}^{n}X_{i}\geq 2t{\sqrt {\sum \mathbf {E} X_{i}^{2}}}\right\}<\exp \left\{-t^{2}\right\},{\text{ khi }}0<t\leq {\frac {\sqrt {\sum \mathbf {E} X_{j}^{2}}}{2L}}.}

3. Đặt X1,..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập. Giả sử

E | X i k | ≤ k ! 4 ! ( L 5 ) k − 4 {\displaystyle \mathbf {E} |X_{i}^{k}|\leq {\frac {k!}{4!}}\left({\frac {L}{5}}\right)^{k-4}}

với mọi số nguyên k > 3. Đặt A k = ∑ E X i k {\displaystyle A_{k}=\sum \mathbf {E} X_{i}^{k}} . Thì,

P { | ∑ j = 1 n X j − A 3 t 2 3 A 2 | ≥ 2 A 2 t [ 1 + A 4 t 2 6 A 2 2 ] } < 2 exp ⁡ { − t 2 } ,  khi  0 < t ≤ 5 2 A 2 4 L . {\displaystyle \mathbf {P} \left\{\left|\sum _{j=1}^{n}X_{j}-{\frac {A_{3}t^{2}}{3A_{2}}}\right|\geq {\sqrt {2A_{2}}}\,t\left[1+{\frac {A_{4}t^{2}}{6A_{2}^{2}}}\right]\right\}<2\exp \left\{-t^{2}\right\},{\text{ khi }}0<t\leq {\frac {5{\sqrt {2A_{2}}}}{4L}}.}

4. Bernstein cũng chứng minh tổng quát hóa của các bất đẳng thức trên cho trường hợp các biến ngẫu nhiên phụ thuộc yếu. Chẳng hạn có thể mở rộng bất đẳng thức (2) như sau. Đặt X1, ..., Xn là các biến ngẫu nhiên bất kì. Giả sử với mọi số nguyên i > 0,

1. E { X i | X 1 , … , X i − 1 } = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} \left\{X_{i}|X_{1},\dots ,X_{i-1}\right\}=0,}
2. E { X i 2 | X 1 , … , X i − 1 } ≤ R i E X i 2 , {\displaystyle \mathbf {E} \left\{X_{i}^{2}|X_{1},\dots ,X_{i-1}\right\}\leq R_{i}\;\mathbf {E} X_{i}^{2},}
3. E { X i k | X 1 , … , X i − 1 } ≤ E { X i 2 | X 1 , … , X i − 1 } 2 L k − 2 k ! {\displaystyle \mathbf {E} \left\{X_{i}^{k}|X_{1},\dots ,X_{i-1}\right\}\leq {\frac {\mathbf {E} \left\{X_{i}^{2}|X_{1},\dots ,X_{i-1}\right\}}{2}}\;L^{k-2}k!}

thì

P { ∑ i = 1 n X i ≥ 2 t ∑ i = 1 n R i E X i 2 } < exp ⁡ ( − t 2 ) ,  khi  0 < t ≤ ∑ i = 1 n R i E X i 2 2 L . {\displaystyle \mathbf {P} \left\{\sum _{i=1}^{n}X_{i}\geq 2t{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}R_{i}\mathbf {E} X_{i}^{2}}}\right\}<\exp(-t^{2}),{\text{ khi }}0<t\leq {\frac {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}R_{i}\mathbf {E} X_{i}^{2}}}{2L}}.}